В этом разделе представлены методы, которым я научился в книге.
Умножение соседних чисел: метод привязки
Допустим, вы хотите умножить соседние числа, например, 62 на 63. Вы замечаете, что оба числа близки к шестидесяти. Разбивая его на части, если мы напишем 62 как 60 + 2 и 63 как 60 + 3, будет (60+2) x (60+3), которая сводится к 60 x (60+2+3) + 2 x 3.
Вы видите 62 х 63, то далее получается 60 х 65 плюс 6 = 3,906. Аккуратно!
Другой пример: 84 х 87 = 80 х 91 + 28 = 7,308.
С помощью этого метода вы находитесь в поиске удобного «колышка» для перестановки умножения. В первом примере (62 х 63) колышек был равен 60; во втором примере (84 х 87) колышек был равен 80.
Этот «метод привязки» окупается во многих ситуациях. Например, если вы хотите умножить трехзначные числа с нулями посередине, такие как 105 и 106, вы быстро получите 100 x 111 + 30 = 11 130.
Метод становится ещё проще, когда конечные цифры складываются в десять. Например, для 62 х 68 вы идёте прямо к 60 х 70 + 16 = 4,216.
Билл Хэндли, специалист по технике «близких чисел», использует её даже в тех случаях, когда числа вообще не находятся рядом. В конце концов, распределение работает независимо от того, близки или далеки числа, так что вы можете использовать любую привязку, которая вам нравится. Например, для 75 х 25 Билл использует 5 в качестве колышка, выполняя (5 х 95) + (70 х 20). В обзоре книги Билла я также покажу его вариацию метода привязки для таких случаев, как 23 х 87, где вы можете взять 20 в качестве привязки и 4 в качестве множителя.
Если вы действительно бдительны, вы можете найти привязку, когда рядом находятся цифры.:
* под круглым числом: 58 х 59 = 60 х 57 + 2 = 3,422. Это упрощение (60-2) x (60-1).
• по обе стороны от круглого числа: 57 х 62 = 60 х 59-6 = 3,534. Это упрощение (60-3) x(60+2).
Исходные числа, подлежащие умножению (например, 188 x 190), складываются в ту же сумму (378), что и новые числа, подлежащие умножению (200 x 178), и это может быть полезно для быстрой проверки того, что вы умножаете правильные числа, или даже в качестве ярлыка для получения второго числа, подлежащего умножению.
Если вы ещё более бдительны, вы можете преобразовать некоторые проблемы в соседнюю проблему чисел. Например, для 105 x 412, используя коэффициент 2, вы меняете задачу на 210 x 206, что дает вам 200 x 216 + 60 = 43 260. Для 104 х 927, используя коэффициент 3, вы меняете задачу на 312 х 309, что даёт вам 300 х 321 + 108 = 96,408.
Возведение в квадрат методом колышка
«Лёгкий» частный случай: числа, заканчивающиеся на 5 (например, 75). Для двузначного числа возьмите первую цифру, умножьте ее на более высокую цифру (7 х 8 = 56), приколите 25 в конце: 5625. Это прямое применение вышеизложенного трюка, чтобы умножить близлежащие числа. Это отлично работает и для более длинных чисел. Например, в квадрат 515 возьмите 51 x 52 (2652) и прикрепите «25» в конце: 265,225.
* Общий случай для двузначных чисел, например, 38 в квадрате. Умножьте ближайшее кратное десяти (40) на число, которое равно расстоянию «на другой стороне» (36), затем добавьте квадрат расстояния: 1440 (40 x 36) + 4 (2^2) = 1,444. Это снова частный случай «метода привязки» выше, хотя вы также можете видеть его как применение классического a^2-b^2 = (a — b) x (a + b), причём при вычислении 38-квадратного, a = 38 и b = 2.
* Трёхзначные числа. Метод тот же самый. На этот раз мы находим ближайшее кратное 100. Например, для квадрата 211 ближайшим кратным будет 200, а число «на другой стороне» — 222. Произведение составляет 44 400, к которому вы добавляете квадрат расстояния (11 квадрат равен 121), получая 44 521.
Аппроксимация квадратных корней
Этот метод был откровением. Мы рассмотрим его для квадратных корней двузначных чисел, но он работает и для больших чисел. Прежде чем мы рассмотрим алгоритм, вот общая идея. Мы пытаемся найти близкое приближение. Давайте возьмём 50. Мы знаем, что 7 в квадрате равно 49, а 8 в квадрате равняется 64, поэтому ответ должен быть между 7 и 8, и 7 даёт ближайший квадрат. Теперь рассмотрим 50/7. Так как 7 меньше, чем наша цель (квадратный корень из 50), то это число (50/7) больше, чем цель. Другими словами, наша цель находится где-то между 7 и 50/7. Возьмем среднее из двух: это наше приближение. Один из способов расчёта среднего значения заключается в следующем (7 + 50/7) / 2 = 7.07. Другой способ состоит в том, чтобы сказать, что среднее значение равно 7 плюс половина разницы, т. е. 7 + (50/7 — 7)/2, т. е. 7 + (50 — 49)/14, или 7 + 1/14.
Итак, вот алгоритм: возьмите число, которое даёт ближайший квадрат. Затем добавьте начальную ошибку, делённую на удвоенное начальное приближение.
* Пример 1: квадратный корень из 90. Ближайший квадрат: 9 (9 в квадрате — 81). Ошибка — 9 (90 — 81). Наше окончательное приближение равно 9 + 9/18 = 9,5.
* Пример 2: квадратный корень из 78. И снова самое близкое приближение — 9. Ошибка -3 (78 — 81). Наше окончательное приближение равно 9-3/18, то есть 9 — 1/6, то есть 8 + 5/6 (если вы обнаружите, что быстрее добавить пять шестых к восьми, чем удалить одну шестую из девяти) = 8.83.
Насколько точен этот метод? Для чисел от 10 до 99, сравнивая приближение, округлённое до второго десятичного знака, с фактическим квадратным корнем, округлённым до второго десятичного знака, в восемьдесят раз разница составляет 0,01 или меньше, в восемь раз-0,02, один раз-0,03 (для 20) и один раз-0,04 (для 12). Для меня это очень и очень хорошо.
Кстати, чтобы улучшить ваше приближение, вы всегда можете взять своё второе приближение и повторить процедуру, добавив новую ошибку, разделенную на два приближения.
Артур не упоминает об этом, но я обнаружил, что этот метод можно легко перевести в процедуру оценки кубических корней, хотя вычисления не так просты. Вот как это работает. Вы берёте первую оценку и куб его. Ваша вторая оценка будет исходная аппроксимация плюс начальная ошибка, делённая на удвоенный квадрат аппроксимации. Обратите внимание, что по сравнению с алгоритмом оценки квадратных корней «квадрат» в делителе является единственным изменением.
Моя идея для этой адаптации метода квадратного корня была вдохновлена приложением в книге Билла Хэндли (обзор ниже), где он представляет свой алгоритм оценки кубических корней. Разумеется, эти два понятия равнозначны. Кстати, с чего вы начинаете, какова ваша первоначальная оценка? Билл указывает, что вы берете триплеты цифр, начиная справа, и подставляете ноль для каждого из них. У вас остается от одной до трёх крайних левых цифр. Для вашего приближения вы берете ближайший куб целых чисел от 0 до 9. Есть только десять из них, некоторые из которых вы уже должны знать, а остальные вы запомните, если заглянете в книгу Артура.
В своей рецензии на книгу Билла Хэндли я также упомяну его советы по оценке квадратных корней более длинных чисел. Ключевой трюк заключается в том, что при вычислении квадратного корня каждая пара цифр, начинающаяся справа, будет уменьшена до десяти (десять в квадрате — это сто), за исключением самого левого префикса из одной или двух цифр. Используя обычный метод, вы оцениваете квадратный корень из этого одно-или двузначного префикса, а затем корректируете масштаб на число факторов, равное десяти.
Быстрое вычитание с дополнениями
Ранее мы говорили о дополнениях. Напомним, что в случае двузначного числа, такого как 41, дополнением является расстояние числа от ста (здесь 59). Мы уже видели, как дополнения можно рассматривать как форму метода округления, который может ускорить вычитание. Например, для 214 минус 41 вы убираете 100 (114) и добавляете дополнение 41 (59), получая 173.
Артур представляет ещё одну технику, которая никогда не приходила мне в голову и, может быть, еще быстрее. Для 214 минус 41, опять же, вы знаете, что ответ будет сто с чем-то. В остальном вы вычисляете 41 минус 14 (27) и находите дополнение (73), снова получая 173. Это алгебраически быстро, но никогда не приходило мне в голову.
Что быстрее? С помощью первого метода вы находите дополнение, а затем добавляете. Во втором методе вычитаете, а затем находите дополнение.
Деление
Артур указывает, что при мысленном делении полезно сначала выяснить, сколько цифр будет в ответе. Например, для 357 / 8 ответ состоит из двух цифр, потому что 100 будет слишком большим (8 х 100 = 800). Итак, когда вы начинаете слева с 35 и обнаруживаете, что 4 работает (4 х 8 = 32), вы можете начать говорить «сорок»… далее, 37 — это остаток, и т.д.
Тестирование на делимость
Ранее мы рассмотрели трюк, чтобы проверить, делится ли число на 3. Вот аналогичные трюки, которые Артур представляет для проверки делимости на другие числа.
* Делимость на 4. Проверьте, делятся ли последние две цифры на 4. (Поскольку 4 х 25 равно 100, мы можем игнорировать цифры слева от последних двух.) Если вам не сразу понятно, делится ли 66 на 4, сначала разделите его на 2: вы получите нечетное число, поэтому оно не будет работать.
* Делимость на 8. Проверьте, делятся ли последние три цифры на 8. (Поскольку 8 x 125 равно 1000, мы можем игнорировать цифры слева от последних трёх.)
* Делимость на 9. Проверьте, делится ли сумма цифр на 9. Например, 123 не делится на 9 (цифра — сумма 6), тогда как 126 — это (цифра — сумма 9).
* Делимость на 6. Проверьте делимость на 2 и на 3.
* Делимость на 11. Поочередно складывайте и вычитайте цифры справа налево. Игнорируя любой отрицательный знак, если результат равен нулю или кратен 11, то исходное число делится на 11. Например, для 7,415 вычислите 5 — 1 + 4 — 7, добавляя -7, что не работает (7 не кратно 11). Для 9 273 вы вычисляете 3 — 7 + 2 — 9, что составляет -11, что работает, и 9273 действительно одиннадцать раз по 843.
* Делимость на другие нечётные числа. Мне нравится эта техника. Допустим, вы хотите знать, делится ли 96,843 на 7. Добавляйте или вычитайте кратные 7, пока не получите ноль в конце (добавление или удаление семерок, очевидно, не повлияет на делимость числа на семь). В этом случае мы можем добавить 7, чтобы получить 96 850. Вы можете снять ноль, потому что деление на десять (то есть на 2 и на 5) не влияет на то, является ли 7 фактором этого числа. Так что у нас остается 968. Делится на 7? Продолжайте добавлять или удалять семерки, чтобы получить нули. Здесь вы можете добавить 42, что дает 1010—или, что проще, удалить 28, что дает 940. Уберите ноль. Делится ли 94 на 7? Снимите 14, дав 80. Уберите ноль. Восемь не делится на 7, следовательно, и 96 843 не делится.
Давайте воспользуемся этим приемом, чтобы увидеть, делится ли 773 на 17. Добавить 17: 790. Уберите ноль. 79 не делится на 17 (слишком близко к 68), так же как и 773.
Хранение цифр на руках во время расчёта
Запоминание цифр на руке … это странное выражение, но, как указывает Артур, цифры (один, два, три…) называются цифрами не просто так: наши пальцы — это оригинальный арифмометр.
Он даёт трюк для запоминания цифр при выполнении многоступенчатых вычислений. Для ноля сожми кулак. У вас уже есть свой собственный способ представления цифр от одного до пяти с помощью пальцев. (Кстати, какой бы метод ни использовали окружающие вас люди — это культурная условность, а такие методы различаются в разных регионах мира.) Для шести, семи, восьми и девяти, прикоснитесь большим пальцем к мизинцу, безымянному пальцу, среднему пальцу и указательному пальцу. Используя обе руки, вы можете хранить две цифры.
Ссылки:
Сайт арифметической игры дает вам столько операций, сколько вы можете выполнить за две минуты. Вы устанавливаете диапазон чисел и типы операций.
Математик: сайт Артура Бенджамина.
Спонсоры статьи: