Я не гений чисел: если вы попросите меня умножить 172 на 47, ответ сразу не последует. Это займет у меня некоторое время. Напротив, существуют молниеносные человеческие калькуляторы, которые мгновенно выдадут вам произведение двух трехзначных чисел. И есть вундеркинды, которые совершают ещё более необычайные подвиги. Тем не менее, по повседневным стандартам, мои умственные вычисления довольно быстры, поскольку они используют ряд простых трюков, на которые я наткнулся с тех пор, как был маленьким. Например, для этого вопроса 172 на 47 я мог бы заметить, что 47 близко к пятидесяти (47 минус 3) и решить сначала вычислить 50 на 172 (либо взяв пятьдесят процентов от 172— то есть половину, то есть 86, и умножив его на 100, то есть 8600; или разбив его на 5×100 = 500, 5×70 = 350, 5×2 = 10, суммируя до 860, умножая на десять = 8600). Затем я вычитал бы 3 раза 172 (51 х 10 + 6 = 516), что дало бы 8084 за несколько (долгих) секунд.
Услышав о молниеносных человеческих калькуляторах, я всегда испытывал некоторое любопытство по поводу того, как к ним приходят ответы. Были ли они аутичными учёными, которые получали свои ответы из эфира? Похоже, так было и с некоторыми из них. Были ли они «гениями» со сверхбыстрым умом, которые использовали вычислительные трюки гораздо большей мощности, чем мои собственные маленькие трюки? Это, казалось, было более распространенным случаем.
Возможно вам будет интересно: тесты по риторике
Сокровище: книга Артура Бенджамина
Однажды ясным зимним днем, когда мне было чуть за сорок, в нужный момент мне в руки попала книга: «Секреты ментальной математики». Артур Бенджамин и Майкл Шермер. Это книга с довольно непривлекательной обложкой, но многообещающим подзаголовком: «руководство математика по вычислению молний и удивительные математические трюки«. Книга выполняет своё обещание. Если у вас есть хотя бы отдаленный интерес к повышению скорости ваших умственных вычислений, я настоятельно рекомендую вам купить себе копию, потому что эта книга — сокровище.
Читая первые главы, я с восторгом понял, что главный автор (Артур Бенджамин) использовал многие из тех самых трюков, на которые я, естественно, наткнулся. Конечно, это не было случайным совпадением, а скорее естественным результатом параллельного процесса исследования.
Для меня книга Артура Бенджамина пришлась очень кстати, так как я заметил, что в последнее время некоторые цифры начали доставлять мне неприятности. Конечно, немного упражнений пойдет мне на пользу.
Техники, которые имеют смысл
Одна вещь, которую я люблю в секретах ментальной математики, заключается в том, что каждая техника, представленная Артуром, «имеет смысл». Я имею в виду, что для меня все его методы вписываются в знакомый алгебраический контекст, так что каждый метод может быть легко расшифрован, проверен и понят. Другими словами, он говорит цифрами на моей собственной волне.
Это контрастирует со многими трюками «арифметики скорости», которые я читал на многочисленных веб-страницах при изучении темы, трюками, которые часто кажутся слишком изолированными, слишком произвольными, слишком лишенными контекста, чтобы нажимать на них таким образом, чтобы стимулировать удержание. Возможно, в этом и заключается разница между человеком, который предлагает рецепт, которого он не понимает, и человеком, который экспериментировал с техникой до такой степени, что он ею владеет.
Классные Заметки
Я намереваюсь, чтобы эта страница служила «классными заметками», где я суммирую советы по умственному расчёту, приёмы и методы, о которых я не знал, так что я могу легко освежить свою память в любое время. Для меня эта книга — сокровище, и я не могу настоятельно рекомендовать вам взять экземпляр, если не для вас, то для кого-нибудь из ваших детей или племянников. Независимо от того, проходите ли вы стандартизированный тест, сидите на собрании, делите счёт в ресторане или занимаетесь деревообрабатывающим проектом, простота вычислений в вашей голове есть секретное оружие, которое не так уж трудно приобрести, и это прекрасный подарок для любящего цифры ребенка.
Итак, без лишних слов окунемся в мир быстрой ментальной математики.
Знакомые приёмы
Чтобы дать вам немного структуры, в этом разделе я суммирую несколько методов, которые были частью «хлеба с маслом» моих умственных вычислений в течение долгого времени, и которые Артур ясно объясняет в своей книге.
Слева направо
Как и я, Артур, кажется, делает свою умственную арифметику слева направо. Возьмем, к примеру, числа 84 и 53. Если бы вы сложили или умножили их на бумаге, вы бы начали с последних цифр (4 и 3), но в своей голове вы начинаете слева. Вот примеры того, как это работает.
* Добавление: 84 + 53 = 13 (8 плюс 5 слева), за которыми следует 7 (4 плюс 3) = 137. Для такой небольшой операции я бы на самом деле либо пошел большими кусками, с 134 (84 + 50) плюс 3, либо «увидел» ответ.
* Умножение: 84 x 53 = 4,240 (80×50 + 80×3) + 212 (4 x 53) = 4,452. Мы могли бы выбрать «инвертировать» 84 и 53: 4200 (50 х 84) + 252 (3 х 84) = 4452.
* Вычитание: 84-53 = 3 (8 минус 5), затем 1 (4 минус 3) = 31.
* Деление: 168 / 3 = 150 / 3 + 18 / 3 = 56. 84/53 также работает слева направо: 1 оставляет 31/53 (1+31/53), и 31/53 снова работает слева направо.
Это правило «слева направо» не означает, что вы строго разбиваете каждое число слева направо. Другие ярлыки могут всплывать в вашем уме, заставляя вас разбивать числа, с которыми вы работаете, на более крупные куски.
Округление
Это метод, о котором я упоминал во введении, где для вычисления 172 х 47 мы округляем 47 до 50. Часто проще оперировать с числом, которое вы округлили вверх или вниз, а затем сложить или вычесть разницу. Например,
* Добавление: 49 + 77 = 127 (50 + 77) минус 1 = 126;
* Умножение: 49 х 77 = разбивается на 50 х 70 = 3500, 50 х 7 = 350, суммируя до 3,850 минус 77, что составляет 3,750 (3,850 минус 100) плюс 23 (разница от округления до 77), что дает 3,773;
• Вычитание: 77 — 49 = 27 (77 — 50) плюс 1 = 28.
* Деление: 196 / 4 = (200 / 4) — 1 = 49.
Дополнение
Этот метод использует метод округления ещё больше. Например, для двухзначных чисел вы можете обнаружить, что «округляете» 37 до 100, чтобы вычесть быстрее, а затем добавляете обратно разницу 63. Вот как это работает: чтобы вычислить 414 минус 37, вы делаете 314 (400 — 100) и добавляете обратно 63, получая 377.
Разница между 100 и числом (в случае двузначных чисел)-это то, что Артур называет дополнением. Я давно заметил, что все эти дополнения жёстко связаны в моем сознании. Например, если вы говорите 34, мне не нужно вычислять дополнение (66). Это делает многие проблемы вычитания намного быстрее.
Если вы много работаете с числами в своей голове, то трехзначные (или более длинные дополнения) часто всплывают в вашем уме. Например, для 1200 минус 625 мой инстинкт будет состоять в том, чтобы добавить 375 к 200, давая 575.
Обратите внимание, что в случае 1200 минус 375 может появиться дополнение 625 и дать вам 200 + 625 = 825, но конкурирующий метод 800 (1200 минус 400) плюс 25 = 825 может возникнуть у вас первым. Вы никогда не знаете, какая стратегия выскочит на вас первой.
У Артура есть классный метод вычитать еще быстрее с дополнениями.
Выбор метода
Для меня часто значительная часть вычислительного времени уходит на выбор метода, особенно если есть два привлекательных метода, конкурирующих, чтобы обратить на них внимание.
Использование жёстких проводных операций
Иногда вам бросается в глаза, что проблема близка к операции, которая жёстко связана с вами, и вы можете использовать это. Например, для умножения 4 на 127, вместо того чтобы умножать слева направо, я замечаю близость к 4 х 125 (жестко заданной как 500), поэтому я просто добавляю 8 (четыре раза по два, так как два-это то, как далеко 127 лежит от 125). Результат: 508.
Использование Факторов
Часто вам бросается в глаза, что число является произведением других чисел. Например, 18: 3 х 6. Это часто даёт вам альтернативный, более быстрый метод для вычисления чего-то.
* Умножение: для 16 х 18 вы можете вычислить 16 х 3 (48) 6 раз = 288.
* Деление: для 120/15 вы можете вычислить 120/3 (40), разделённое на 5 = 8. Или, заметив ноль в конце 120 и 5 в конце 15, вы можете умножить на два, чтобы ноль появился и на правой стороне: 240 /30. Когда вы упрощаете это до 24/3, получая 8, вы используете факторы, не думая об этом: вы умножаете 30 на 10 х 3, и вы начинаете с деления 240 на десять, первый фактор.
Этот пример показывает, что иногда при делении вы умножаете, чтобы заставить появиться общий фактор. В принципе, правило таково:»всё, что работает». Другие примеры:
* чтобы разделить на 16, я часто делю на 2, четыре раза подряд.
* чтобы умножить или разделить на 12½, я бы рассматривал это число как 100/8, умножая на 100 и деля на 8, или наоборот. Думаю, это можно назвать обратным факторингом.
Работа с факторами часто экономит ваше время. Например, в умножение проблему, например, 16 х 18, С факторным методом мы просто умножаем в два раза, в то время как с классическим слева направо, мы бы умножили в два раза, затем добавили (10 х 16 = 160, 8 х 16 = 128, 160 + 128 = 288), или умножить два раза, затем убавить (20 х 16 = 320, 2 х 16 = 32, 320 — 32 = 288).
Спонсоры статьи: